Partie C : variable aléatoire et espérance

On appelle \(G\) le gain réalisé (il peut être négatif).

1. Résumer les résultats dans le tableau suivant.

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Valeurs prises par}~G &-1&+1&+10\\ \hline \text{Probabilité d'obtenir} \\ \text{ chacune des valeurs possibles pour}~G\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

\(G\) est la variable aléatoire qui, à toute issue du lancer de dés, associe le gain du joueur. Les valeurs que \(G\) peut prendre sont \(\{-1\;;\;1\;;\;10\}\).
2. L'écriture \(\{G =1\}\) représente l'événement « le gain obtenu lors d'une partie est égal à \(1\) ».
    a. Donner sa probabilité \(P(G=1)\).
    b. Donner la probabilité d'obtenir un gain positif à une partie de ce jeu.
3. a. Calculer le nombre \(E(G)=-1\times P(G=-1)+1\times P(G=1)+10\times P(G=10)\).
    b. Comparer le nombre obtenu à la moyenne calculée dans le tableur.
    c. Que peut-on constater ? Répondre à la question posée au début de l'activité : « Le jeu est-il favorable au joueur ? »
Le nombre \(E(G)\) est l’espérance de la variable aléatoire \(G\). Il représente le gain moyen que l'on peut espérer obtenir à chaque partie, si on joue un très grand nombre de fois à ce jeu.
4. Un jeu est dit équilibré lorsque l'espérance de la variable aléatoire \(G\) est nulle. L'introduction d'une mise obligatoire pour participer à un jeu peut permettre de rendre un jeu équilibré (ou alors le rendre favorable à qui propose le jeu). Quelle mise devrait demander Hector pour que son jeu soit équilibré ?